ฟี (Phi) อัตราส่วนทองคำ (Golden ratio)

 

ดร. ณัฐพันธุ์ ศุภกา

ฝ่ายถ่ายทอดเทคโนโลยีและวิชาการ

ศูนย์นาโนเทคโนโลยีแห่งชาติ

นักเขียนประจำ วิชาการ.คอม



Phi (Φ) (อ่านออกเสียงว่า “ฟี”) ก็คือตัวเลข 1.618… เป็นค่าคงที่ของธรรมชาติ ที่มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งหลายประการ แต่คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุด ของ Phi ก็คือ Phi มีความเกี่ยวพัน กับลำดับเลขฟีโบนักชี เป็นอย่างมาก ทั้งนี้ก็เป็นเพราะว่า ถ้าเอาเลขฟีโบนักชีตัวใดตัวหนึ่งมา แล้วหารด้วยเลขฟีโบนักชี ในลำดับที่มาก่อนหน้าหนึ่งตำแหน่ง มักจะได้ผลหารเท่ากับ หรือใกล้เคียงกับ Phi หรือ 1.618… เสมอ ยกตัวอย่างเช่น เมื่อเรานำเลขฟีโบนักชีสองจำนวน ที่อยู่ติดกันมาหารกัน เช่น 309/191 จะได้ผลหารเท่ากับ 1.6179 หรือเอา 118/73 จะได้ผลหารเท่ากับ 1.6164 ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับ Phi เป็นอย่างมาก และถ้าเราพิจารณาเลขฟีโบนักชีที่มีค่ามากๆ จะพบว่าอัตราส่วนของเลขสองจำนวนจะเท่ากับ 1.6180339887... เสมอ

ค่าที่แท้จริงของ Phi เท่ากับ (1 + 5)/2) หรือประมาณ 1.61803398874989...




สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ
(Golden Rectangle)

คือ สี่เหลียมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านยาวต่อด้านสั้นเท่ากับอัตราส่วนทองคำ หรือ phi นั่นเอง ความพิเศษของสี่เหลี่ยมทองคำก็คือถ้าเราแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำออกเป็นสองส่วน โดยส่วนแรกเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส และส่วนที่สองเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็จะพบว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าอันเล็ก ที่เกิดขึ้นมาใหม่ก็ยังคงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำเช่นเดียวกัน ซึ่งถ้าเรายังแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ที่เกิดขึ้นใหม่ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ ก็จะได้สี่เหลี่ยมจตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ที่มีขนาดเล็กลงไปเรื่อยๆ ซ้ำไปซ้ำมาจนไม่รู้จบ

เพื่อให้เข้าใจสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำมากขึ้น ลองพิจารณาจากรูปประกอบนี้ 

ถ้าสมมุติให้สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนทองคำแล้ว จะทำให้ AD/AB = AE/ED = phi โดยที่ FE = AE และ FE/ED= phi จะส่งผลให้สี่เหลี่ยม FCDE เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนทองคำเช่นเดียวกันซึ่งจะทำให้ AD/EF = BD/CE = phi เช่นเดียวกัน

Phi มีบทบาทในการเป็นรากฐานที่สำคัญให้กับธรรมชาติ คน สัตว์ พืช หรือแม้แต่อะตอม ซึ่งต่างก็มีสัดส่วนที่ตรงกับอัตราส่วนของ Phi ต่อ 1 อย่างน่าอัศจรรย์! จึงทำให้การปรากฏอยู่ ของตัวเลข Phi ในธรรมชาติ มีมากเกินกว่าที่จะเป็นการบังเอิญ จนราวกับว่าตัวเลข Phi ถูกสร้างขึ้นโดยพระเจ้า จนนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน ชื่อ Luca Pacioli จึงได้เรียบเรียงตำราขึ้นมาเล่มหนึ่งชื่อ The Devine Proportion (สัดส่วนแห่งสวรรค์) ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับ Phi ขึ้นมาโดยเฉพาะ  จนถึงทุกวันนี้ได้มีการค้นพบว่า Phi เข้าไปเกี่ยวข้องกับธรรมชาติ และสิ่งต่างๆอย่างมากมาย เช่น ศาสตร์สัญลักษณ์ในวงการศิลปะ, สถาปัตยกรรม เช่น พีระมิดอียิปต์, ดนตรี, เกลียวสับปะรด, หลุมดำ, ซุปเปอร์โนวา (supernova) และทฤษฎี string ฯลฯ ตัวอย่างของสิ่งต่างๆที่เกี่ยวข้องกับ Phi มีดังนี้

  1. อัตราส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของเกลียวรอบเปลือกหอยนอติลุส
  2. อัตราส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงขดเกลียวของเมล็ดทานตะวันแต่ละวงเทียบกับวงถัดไป
  3. อัตราส่วนของสัดส่วนหน่วยโครงสร้างร่างกายมนุษย์ เช่น ระยะจากหัวถึงพื้นหารด้วยระยะจากสะดือถึงพื้น ระยะจากไหล่ถึงปลายนิ้วมือหารด้วยระยะจากข้อศอกถึงปลายนิ้วมือ หรือระยะจากสะโพกถึงพื้นหารด้วยระยะจากหัวเข่าถึงพื้น เป็นต้น
  4. งานศิลปะและสถาปัตยกรรมของจำนวนมากมาย เช่น มหาวิหารพาร์ธีนอน (Parthenon) ในเอเธนส์ หรือ มหาวิหารน็อตเตอร์ดาม (NotreDame Cathedral) ในปารีส เป็นต้น


มหาวิหารพาร์ธีนอนในกรุงเอเธนส์ที่มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำซ่อนอยู่อย่างไม่รู้จบ ซึ่งส่งผลให้มหาวิหารแห่งนี้มีลักษณะทางสถาปัตยกรรมที่มีความสมมาตรและสวยงามมาก

จนกลายเป็นต้นแบบให้กับสิ่งก่อสร้างในภายหลังอีกหลายแห่ง

(ภาพประกอบจาก http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm)





มหาวิหารน็อตเตอร์ดามแห่งปารีส และมหาวิหารพาร์ธีนอนในเอเธนส์ ต่างก็มีความเกี่ยวข้องกับ Phi ทั้งสิ้น ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเอาความยาวของเส้นสีขาวหารด้วยความยาวของเส้นสีฟ้าจะมีผลหารเท่ากับ Phi หรือ 1.618…


สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำที่ปรากฏอยู่บนใบหน้าและส่วนต่างๆของ โมนาลิซา

ซึ่งเป็นภาพวาดที่มีชื่อเสียงมากที่สุดรูปหนึ่งของโลก ที่วาดขึ้นโดย เลโอนาร์โด ดา วินชี


(ภาพประกอบจาก http://us.geocities.com/jyce3/leo.htm)


ภาพ “โมนาลิซา” (Mona Lisa) เป็นผลงานชิ้นเอกของ เลโอนาร์โด ดา วินชี จิตรกรชาวอิตาเลียน ซึ่งในขณะนี้ตั้งแสดงอยู่ที่ห้องเดอะแกรนแกลเลอรี่ ในพิพิธภัณฑ์ลูฟว์ ประเทศฝรั่งเศส ในนาม “ลา โฌกงด์” (La Joconde) โมนาลิซาในภาพเป็นภาพเหมือนของหญิงสาวชื่อ “ลา จิโอกอนดา” (La Gioconda) ภรรยาของฟรานเซสโก เดล จิโอกอนดา ที่ เลโอนาร์โด วาดขึ้นโดยใช้เทคนิคการวาดภาพแบบสฟูมาโต (sfumato) เพื่อให้โทนสีของภาพออกมาดูนุ่มเบา


ส่วนสาเหตุหนึ่งที่ทำให้โมนาลิซา กลายเป็นภาพวาดที่มีชื่อเสียงไปทั่วโลก ก็คงเป็นเพราะสีหน้าและรอยยิ้ม ที่โมนาลิซาแสดงออกมานั้นให้ความรู้สึกที่น่าฉงนมาก เพราะว่าบางมุมก็รู้สึกถึงความมีเสน่ห์ดึงดูดใจ ขณะที่บางมุมก็ให้ความรู้สึกโดดเดี่ยวแปลกแยก หรือบางครั้งก็รู้สึกราวกับว่า โมนาลิซาอยากจะบอกกับคนที่กำลังจ้องมองดูเธออยู่ว่า “ฉันรู้เรื่องที่คุณยังไม่รู้อีกเยอะแยะเลยนะ  จะบอกให้! ”





เดอะวิทรูเวียนแมน (the Vitruvian Man) เป็นภาพวาดที่มีชื่อเสียงมากของ เลโอนาร์โด ดาวินชี เนื่องจากเป็นภาพ ที่แสดงออกถึงความสามารถทางการวาดภาพ ที่เป็นศิลป์ผนวกกับความรู้ทางวิทยาศาสตร ์ของดาวินชีในการกำหนดสัดส่วน ทางคณิตศาสตร์ของร่างกายมนุษย์ โดยดาวินชีได้นำ Phi มาให้ในกำหนดสัดส่วนต่างๆ ของร่างกาย จนได้ภาพวาดของมนุษย์เพศชาย ที่มีรูปร่างสมบูรณ์แบบ และมีสัดส่วนถูกต้องมากที่สุด ซึ่งถือว่าเป็นผลงาน ทางด้านกายวิภาคศาสตร์ ที่ก้าวล้ำสมัยมาก ซึ่งในเวลาต่อมา ได้กลายเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ ทางวัฒนธรรมของมนุษยชาติ


เพนตาเคิล (pentacle) หรือรูปดาวห้าแฉก เป็นสัญลักษณ์ของศาสนา ยุคก่อนคริสตกาล มีความหมาย ในการเป็นตัวแทนของเพศหญิง โดยที่เพนทาเคิล จะมีความเกี่ยวข้องกับ Phi เป็นอย่างมาก ทั้งนี้เนื่องจากอัตราส่วนต่างๆ ถูกที่แบ่งโดยเส้นทุกเส้น ในเพนทาเคิลจะมีค่าเท่ากับ Phi ทั้งหมด



ส่วน เพนตากอน (pentagon) หรือรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ก็มีความเกี่ยวข้องกับ Phi ด้วยเช่นกัน ทั้งนี้เนื่องจากอัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมกับความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าจะมีค่าเท่ากับ Phi เสมอ! 




รูปแสดงอัตราส่วน ระหว่างความยาวเส้นทแยงมุม กับความยาวด้าน ของเพนตากอน

และความยาวของส่วนต่างๆ ที่เกิดจากการตัดกัน ของเส้นแทยงมุม จะมีค่าเท่ากับ Phi เสมอ

เพนตาเคิล (รูปดาวห้าแฉก) และเพนตากอน (รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า) ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่นิยมใช้ในทางศาสนา ลัทธิความเชื่อ และวงการศิลปะ ต่างก็มีความสัมพันธ์กับ Phi หรืออัตราส่วนทองคำ (golden ratio) เป็นอย่างมากจนน่าอัศจรรย์ใจ ซึ่งถ้าสังเกตรูปประกอบ ให้ดีจะเห็นว่า ทั้งเพนตาเคิลและเพนตากอน ซ้อนกันไปมาอย่างไม่รู้จบ และสัดส่วนต่างๆที่เกิดขึ้นจากเส้นที่ตัดกันไปมา ต่างก็มีความสัมพันธ์กับ Phi ทั้งสิ้น

นอกเหนือไปจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ และรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าหรือเพนตากอนแล้ว รูปเรขาคณิตชนิดอื่นๆ ก็มีอัตราส่วนทองคำด้วยเช่นกัน เช่น รูปสามเหลี่ยมทองคำ และรูปสิบเหลี่ยมทองคำ เป็นต้น




รูปสามเหลี่ยมทองคำแบบมุมแหลม (Golden Triangle) ที่มีด้านยาวต่อด้านสั้นเป็นอัตราส่วนทองคำ ซึ่งมีสามเหลี่ยมทองคำแบบมุมแหลมและแบบมุมป้านขนาดเล็กซ้อนทับกันซ้ำไปซ้ำมาอย่างไม่รู้จบ




รูปสิบเหลี่ยมทองคำ (golden decacon) หรือรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ภายในวงกลม จะพบว่าอัตราส่วนระหว่างรัศมีวงกลม ( r ) ต่อความยาวด้านของรูปสิบเหลี่ยม ( s ) จะมีค่าเท่ากับ phi