เรขาคณิตเบื้องต้น 

   จุด ( point ) 

                   เราใช้จุดแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆ เช่น ตำแหน่งของสถานที่ในแผนที่ ตำแหน่งของดวงดาว ในทางเรขาคณิต จุด เป็นคำอนิยาม ( undefined term ) ไม่ต้องอธิบายความหมายว่าคืออะไร ในอดีตยูคลิดเคยพยายามให้ความหมายของจุดไว้ว่า หมายถึง สิ่งที่ไม่มีความกว้างและความยาว ซึ่งเป็นการให้นิยามที่ยังไม่สมบูรณ์เพราะต้องใช้คำที่ไม่สามารถให้นิยามได้อีก ได้แก่ คำว่า ความกว้างและความยาว เพื่อช่วยให้เข้าใจตรงกันจึงตั้งชื่อจุดโดยใช้ตัวอักษรภาษาไทย หรือตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น ก ข หรือ A ดังภาพ  

 
·         ก อ่านว่า จุด ก
·         ข อ่านว่า จุด ข
·         A อ่านว่า จุด A  

  

 ระนาบ ( plane )
 ระนาบหมายถึงพื้นที่ผิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนของพื้นที่ผิวที่เราเห็นขอบเขตได้จึงเป็น " ส่วนของระนาบ " เท่านั้น การกำหนดระนาบจะต้องใช้จุดอย่างน้อย 3 จุด และทั้ง 3 จุดนั้นจะต้องไม่อยู่ร่วมเส้นตรงเดียวกัน 

   

เส้นตรง ( line ) 

เส้นตรงเป็นคำอนิยาม 

ภาพแสดงตัวอย่างแนวคิดของเส้นตรง
 

ส่วนของเส้นตรง ( line segment )  

           กำหนดจุดขึ้นมา 2 จุด เช่น จุด A และจุด B แล้วนำไม้บรรทัดหรือสันตรง มาวางทาบให้ผ่านจุดทั้งสองและใช้ดินสอ จรดที่จุด A แล้วลากดินสอไปตามสัน ของไม้บรรทัดหรือสันตรงจนถึงจุด B เส้นที่เกิดขึ้นเรียกว่า " ส่วนของเส้นตรง AB " ( line segment AB ) โดยมีจุด A และ จุด B เป็น " จุดปลาย " ( end points )  

เส้นโค้ง ( curve )  

           ถ้าจรดดินสอบนกระดาษแล้วลากไปในลักษณะใดก็ได้ เส้นที่เกิดขึ้นเรียกว่า curve ซึ่งแปลเป็นภาษาไทยตามหนังสือศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถานว่า " เส้นโค้ง " แต่ curve ในความหมายของนักคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นที่จะต้องมีลักษณะโค้งงอสมดังชื่อเสมอไป ส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ฯลฯ ล้วนเป็น curve ด้วยกันทั้งสิ้น  

ตัวอย่างของ curve

             ถ้าเริ่มต้นจรดดินสอที่จุดใดจุดหนึ่งแล้วลากเส้นให้ปลายดินสอมาบรรจบลงที่จุดเดิม เราจะได้ เส้นโค้งปิด ( closed curve ) เช่น รูป (2), (4), (5) และ (8) เป็นเส้นโค้งปิด ส่วนเส้นโค้งที่ไม่ใช่เส้นโค้งปิด เช่น รูป (1), (3), (6) และ (7) เรียกว่า เส้นโค้งเปิด ( open curve ) เพราะจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดไม่ใช่จุดเดียวกัน

เส้นโค้งที่ไม่ตัดกับตัวมันเอง เรียกว่า เส้นโค้งเชิงเดี่ยว ( simple curve ) พิจารณา ตัวอย่างต่อไปนี้

 

            เส้นโค้งที่เป็นทั้งเส้นโค้งปิดและเส้นโค้งเชิงเดี่ยว เรียกว่า เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว ( simple closed curve ) เช่น รูป (2) และ (4)

            เส้นโค้งเปิดเชิงเดี่ยว ( simple open curve ) ให้นิยามไว้ในทำนองเดียวกัน เราจะให้ความสนใจเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวเป็นพิเศษ เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวแบ่งจุดต่างๆ ในระนาบออกเป็น 3 ส่วน คือ จุดภายนอก จุดภายใน และจุดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวนี้รู้จักกันในอีกชื่อว่า Jordan curve

รังสี ( ray )

       ถ้าใช้ดินสอจรดที่จุด A แล้วลากเส้นตามขอบของสันตรงไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้น เรียกว่า รังสี เรียก จุด A ว่าจุดปลายของรังสี

       ถ้าลากเส้นจากจุด A ให้ผ่านจุด B แล้วต่อเส้นออกไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้น เรียกว่า รังสี AB

มุม ( angle )

       มุม เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนี้เรียกว่า จุดยอดมุม รังสีแต่ละเส้นเรียกว่า แขนของมุม

 

การวัดมุม

             หน่วยวัดขนาดมุม เรียกว่า " องศา " มาตรฐานของการวัดมุมกำหนดจากมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเกิดจากการแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 360 ส่วน ส่วนละเท่าๆ กัน กำหนดจุด 2 จุด สมมติให้เป็นจุด A และจุด B ห่างกันเป็นระยะ 1 ใน 360 ส่วน ลากส่วนของเส้นตรงจากจุด A และจุด B ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม จะเกิดมุมขึ้น มุมนี้ถือเป็นมาตรฐานการวัดมุมที่เรียกว่า หนึ่งองศา

การวัดขนาดของมุมอาจใช้เครื่องมือวัดมุมต่อไปนี้



ชนิดของมุม

มุมฉาก          เป็นมุมที่มีขนาด 90 องศา

มุมแหลม        เป็นมุมที่มีขนาดเล็กกว่ามุมฉาก

มุมป้าน         เป็นมุมที่มีขนาดใหญ่กว่ามุมฉากแต่ไม่ถึงสองมุมฉาก

มุมตรง          เป็นมุมที่มีขนาดเป็นสองเท่าของมุมฉาก

มุมกลับ          เป็นมุมที่มีขนาดใหญ่กว่าสองมุมฉากแต่ไม่ถึงสี่มุมฉาก

โดยทั่วไปเราเขียน "o " แทนคำว่า " องศา " เช่น 90o อ่านว่า เก้าสิบองศา และ 35o อ่านว่า สามสิบห้าองศา

รูปเรขาคณิต 

รูปเรขาคณิตสองมิติ 

รูปเรขาคณิตสองมิติ ( two - dimensional geometric figure ) รูปเรขาคณิตสองมิติ แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ ตามลักษณะของขอบหรือด้านของรูป ได้แก่ กลุ่มที่มีขอบหรือด้านของรูปเป็นส่วนของเส้นตรง กลุ่มนี้คือ รูปหลายเหลี่ยม ( polygon ) และกลุ่มที่มีขอบหรือด้านเป็นเส้นโค้งงอ เช่น รูปวงกลม และรูปวงรี เป็นต้น กลุ่มนี้ไม่มีชื่อเรียกโดยเฉพาะ

 

รูปหลายเหลี่ยม (Polygon)

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิดที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงตั้งแต่ 3 เส้นขึ้นไปโดยที่จุด A, B, C, … , P, Q เป็นจุดที่แตกต่างกันบนระนาบ และไม่มี 3 จุดใดอยู่ร่วมส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า ด้านของรูปหลายเหลี่ยม  

จุด A, B, C, … , P, Q เรียกว่า จุดยอด

จำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม  

ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่ไม่ใช่ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า เส้นทแยงมุม ( diagonal )

 

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ( regular polygon )  

รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

รูปสามเหลี่ยม (Triangle)

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่งประกอบด้วยด้านที่เป็นส่วนของเส้นตรง 3 เส้น ส่วนของเส้นตรงทั้งสามนี้ต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน ซึ่งทำให้เกิดมุม 3 มุม เช่

ข้อสังเกต  

1.       ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด ขึ้นอยู่กับว่าให้ด้านใดเป็นฐานของ รูปสามเหลี่ยม ความสูงมีได้ 3 ค่า ซึ่งอาจจะมีค่าต่างกัน

2.       ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมอาจจะอยู่ในหรือนอกรูปสามเหลี่ยมก็ได้  

ชนิดของรูปสามเหลี่ยม  

การจำแนกรูปสามเหลี่ยมมีเกณฑ์ในการพิจารณา ดังนี้

1. พิจารณาจากความยาวของด้าน จำแนกได้ดังนี้
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ( equilateral triangle ) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ( isosceles triangle ) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ( scalene triangle) คือรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีด้าน 2 ด้านใดยาวเท่ากัน

 หมายเหตุ  

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมนอกระบบยูคลิด คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามมี ขนาดเล็กกว่ามุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้เกิดจากส่วนของเส้นตรงสามเส้น และมุมภายในทั้งสามรวมกันได้น้อยกว่า 180o

รูปสี่เหลี่ยม(Quadrilateral)

รูปสี่เหลี่ยมเป็นเส้นโค้งปิดเชิงเดียว ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง 4 เส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น เรียกว่า ด้านของรูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมใดๆ ประกอบด้วยด้าน 4 ด้าน และมุม 4 มุม เช่น

 

ส่วนต่างๆ ของรูปสี่เหลี่ยม

 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ( parallelogram ) คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านตรงข้ามขนานกันทั้ง 2 คู่ ซึ่งทำให้ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันด้วย เส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันแต่ยาวไม่เท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ( trapezoid ) คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเพียงคู่เดียว

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( rectangle ) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมเป็นมุมฉาก ด้านประชิดยาวไม่เท่ากัน มีผลทำให้ด้านตรงข้ามขนานกันและยาวเท่ากัน เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน และแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ( square ) คือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน ทั้งสี่ยาวเท่ากัน มีผลทำให้เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน และตัดกันเป็นมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ( rhombus ) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เส้นทแยงมุมยาวไม่เท่ากัน แต่แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน และตัดกันเป็นมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว ( kite ) คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิด ยาวเท่ากันเพียง 2 คู่เท่านั้น เส้นทแยงมุมยาวไม่เท่ากัน ไม่แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน แต่ตัดกันเป็นมุมฉาก

      2. พิจารณาจากขนาดของมุม จำแนกได้ดังนี้
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ( acute triangle ) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามมีขนาดเล็กกว่า มุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ( right triangle ) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ มุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน ( obtuse triangle ) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่ามุมฉาก

     รูปเรขาคณิตสองมิติ

รูปเรขาคณิตสองมิติ ( two - dimensional geometric figure ) 

รูปเรขาคณิตสองมิติ แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ ตามลักษณะของขอบหรือด้านของรูป ได้แก่ กลุ่มที่มีขอบหรือด้านของรูปเป็นส่วนของเส้นตรง กลุ่มนี้คือ รูปหลายเหลี่ยม ( polygon ) และกลุ่มที่มีขอบหรือด้านเป็นเส้นโค้งงอ เช่น รูปวงกลม และรูปวงรี เป็นต้น กลุ่มนี้ไม่มีชื่อเรียกโดยเฉพาะ

 รูปหลายเหลี่ยม (Polygon)

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิดที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงตั้งแต่ 3 เส้นขึ้นไป

 จำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม  ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่ไม่ใช่ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า เส้นทแยงมุม ( diagonal ) 1.       จุดศูนย์กลาง ( center ) คือจุดคงที่ที่อยู่ห่างจากกลุ่มของจุดที่เป็นรูปวงกลมเป็นระยะทางเท่ากัน ชื่อของจุดศูนย์กลางใช้เป็นชื่อเรียกรูปวงกลมด้วย เช่นในภาพ เรียกว่า รูปวงกลม O เพราะเป็นรูปวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง

2. เส้นรอบวง ( circumference ) หรือเส้นรอบรูปของรูปวงกลม

3.รัศมี ( radius ) คือส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง ของรูปวงกลม รัศมีของรูปวงกลมเดียวกันย่อมมีความยาวเท่ากัน ในภาพข้างต้น ตัวอย่างของรัศมี

4. เส้นผ่านศูนย์กลาง ( diameter ) คือส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวง

5.คอร์ด ( chord ) คือส่วนของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนรูปวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดของรูปวงกลม และเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุด

6.ส่วนของเส้นรอบวง ( arc ) คือส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปวงกลม ตัวอย่างของส่วนของเส้นรอบวงคือส่วนโค้ง AC หรือเขียนแทนได้ด้วย

7.เซกเมนต์ ( segment ) คือบริเวณที่ล้อมรอบด้วยคอร์ด กับส่วนของเส้นรอบวง ดังแสดงด้วยส่วนที่แรเงาในภาพ

8.เซกเตอร์ ( sector ) คือบริเวณที่ล้อมรอบด้วยส่วนของเส้นรอบวงและรัศมี ดังแสดงด้วยส่วนที่แรเงาในภาพ

รูปวงกลม (Circle)

    รูปวงกลมคือ กลุ่มของจุดในระนาบซึ่งห่างจากจุดคงที่เป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ( center )

รูปสี่เหลี่ยม ABCD ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ดังนี้  

1.       ด้านประชิด ( adjacent sides ) คือด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดปลายร่วมกัน 1 จุด จากรูป รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้านประชิดกัน 4 คู่ คือ ด้าน AB กับ ด้าน BC ด้าน BC กับ ด้าน CD ด้าน CD กับ ด้าน DA และ ด้าน DA กับ ด้าน AB

2.       ด้านตรงข้าม ( opposite sides ) คือด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มี จุดปลายร่วมกัน รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้านตรงข้ามกัน 2 คู่ คือ ด้าน AB ตรงข้ามกับด้าน CD และด้าน AD ตรงข้ามกับด้าน BC

3.       มุมประชิด ( adjacent angles ) คือมุมสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่มีแขนของ มุมร่วมกันอยู่แขนหนึ่ง รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุมประชิด 4 คู่

4.       มุมตรงข้าม ( opposite angles ) คือมุมสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีแขนของมุมร่วมกัน รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุมตรงข้าม 2 คู่

5.       มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยม จากรูป ABCD จะมีมุมภายในของ  ABCD ซึ่งขนาดของมุมภายในทั้งสี่รวมกันได้ 360o

6.       เส้นทแยงมุม ( diagonal ) คือส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่ที่ จุดยอดของมุมตรงข้าม รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีเส้นทแยงมุม 2 เส้น

รูปเรขาคณิตสามมิติ ( three - dimensional geometric figure ) 

              สิ่งต่างๆ รอบตัวเรามีลักษณะสำคัญ คือมีความกว้าง ความยาว และความหนาหรือความสูง อาจเรียกรวมๆ ว่ารูปเรขาคณิตสามมิติ รูปเรขาคณิตสามมิติบางชนิดมีชื่อทางเรขาคณิต แต่หลายชนิดก็ไม่มีชื่อทางเรขาคณิต การจำแนกรูปเรขาคณิตสามมิติ พิจารณาจากรูปร่างลักษณะของ รูปเรขาคณิตที่ประกอบกันเป็นทรง 

ปริซึม (Prism)

           รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม  

ตัวอย่างปริซึม 

 

ส่วนต่างๆ ของปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม 

           ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ได้แก่ เส้นขอบ ( edge ) จุดยอด ( vertex ) หน้า ( face ) และฐาน ( base )

 ทรงกระบอก (cylinder)

           รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกันมีผิวโค้ง เรียกว่า ทรงกระบอก เมื่อคลี่หน้าข้างของทรงกระบอกตามแนวความสูงจะได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 

  

 

พีระมิด (Pyramid)

             รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และมีหน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม เรียกว่า พีระมิด การเรียกชื่อพีระมิดเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม 

กรวย (Cone)

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และมีผิวโค้ง เรียกว่า กรวย เมื่อคลี่หน้าข้างของกรวยออกจะได้รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

 เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)

     เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้

1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-)

2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย

PQ = ? (x2-x1)2 + (y2-y1) 2

3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้

จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2

4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2) 4.1 ความชัน(slop)=tan?=mQ(x1,y1)ความชัน = m = y2 - y1 x2 - x1

4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ y - y1 = m(x - x1)

4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ y = mx + b

4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรง 3x + 4y - 5 = 0 วิธีทำ 4y = -3x + 5 y = -(-3/4)x +(5/4) ? ความชันคือ -3/4 4.5 เส้นตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2 เส้นตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1

5. การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l ดังรูป

P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0


ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l

d = Ax1 + By1 + C ? A2 + B2

ทดสอบความเข้าใจ

ข้อ 1. เส้นตรงซึ่งตั้งฉากและแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดระหว่าง(-1,3) และ (5, 7) คือกราฟข้อใด 1. 2y + 3x - 8 = 0 2. 2y + 3x - 3 = 0 3. 2y + 3x - 16 = 0 4. 3y + 2x - 19 = 0 ข้อ 2. จงหาว่าจุด(1,1) , (4,4) , และ (9,-1) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมชนิดใด 1. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 2. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 3. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว


เฉลย ข้อ 1. ตอบ 3 ข้อ 2. ตอบข้อ 3

                                                                                   ข้อมูลจาก http://lovemath.siam2web.com