บทประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน    ตอน  1     

1)  ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน  (Maximum  and minimum values  of   function)

นิยาม  ฟังก์ชัน f  มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ  ที่  x = c  ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในช่วงเปิดนี้
                        high3.jpg
 ถ้า  f '(x) >0   เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่   f '(x) < 0  เมื่อ x  มากกว่า c เล็กน้อย   
 แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  ที่ x  =  c   และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ   f(c) 

นิยาม    ฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์   

ณ ที่     x   =   c
 ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x   ในช่วงเปิดนี้      

                    low3.jpg
ถ้า f '(x)<0  เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
 แล้วฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = c   และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ  f(c) 

นิยาม    ถ้า  c   เป็นจำนวนในโดเมนของฟังก์ชัน   f    และถ้า   f ' (c)   =   0   

 หรือ   f ' (c)   หาค่าไม่ได้
 จะเรียก c  ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  f  และจุด   (c , f(c) ) บนกราฟของ   f   ถูกเรียกว่า   จุดวิกฤตของกราฟของ   f    
 เมื่อทราบว่า  f ' (c)  = 0   แสดงว่า  c  เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  ให้ระวังดังนี้

1.   c   อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  

                   high2.jpg 

 ถ้ากราฟเป็นรูปคว่ำลง แล้ว f '' (x) < 0   แสดงว่า  f ''(c) < 0   ด้วย  

2.   c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  

                   low2.jpg 

 ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้นแล้ว f '' (x) >  0 แสดงว่า  f ''(c) > 0  ด้วย

  3.  c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์    เช่น         

slope2.jpg   slope1.jpg                       

    

              

 

 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น

นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด   ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น

นิยาม     f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f  และถ้า   f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   

ในโดเมนของ   f  
นิยาม     f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f  และถ้า   f (c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   

ในโดเมนของ   f

 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าสูงสุดจริง ๆ      

 ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าต่ำสุดจริง ๆ

หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย  ค่าสูงสุดมักจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดมักจะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

การกำหนดค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องf ช่วงปิด [a,b]   
        มีขั้นตอนดังนี้
        1.   หาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตของ  

 f   บนช่วงปิด    [a , b]
        2.   หาค่า   f(a)   และ    f(b)
        3.   ค่ามากที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
 ค่าน้อยที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

 บทประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด                                                           

หลักการพิจารณาหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

1.  อ่านโจทย์ให้ละเอียด   ค้นหาปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
      แล้วสมมุติให้เป็น   y   เป็นตัวปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด

2.   สมมุติให้  x เป็นตัวเปลี่ยนต้นที่แทนปริมาณที่ทำให้  y  เปลี่ยนแปลง

3.  ให้สถานการณ์ได้ว่า    y   =   f(x)

4.  ดำเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน   
     4.1 การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้   และ  เข้าช่วย
               -  หา       
              -   ให้        =   0    แก้สมการ
                   หาค่า  x  สมมุติให้   x   =  c  "ค่าวิกฤต"   ตรวจสอบต่อดังนี้   
    ถ้า     /  x  =  c   <   0   (c, f(c) )  
    เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  =   f (c)

    ถ้า     /  x  =  c   >  0  (c, f(c) )  
    เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  =   f (c)

    4.2   หาค่าสูงสุดสัมพัทธและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  โดยใช้กราฟ

 

##########################

บทประยุกต์เรื่องความเร็ว ความเร่งเฉลี่ย ความเร่ง และอัตราเร่ง...ตอน2

วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง  โดยมีสมการเคลื่อนที่    S  =  f(t)
 เมื่อ  S  แทนระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งในขณะเวลา  t  แล้ว   จะได้ว่า
ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุ   จาก        ถึง        คือ          
ความเร็วของวัตถุในขณะเวลา   t   ใด ๆ  

  =     

           

สมการเคลื่อนที่    S  =  f(t)     และ   v(t)    แทนความเร็วของวัตถุในขณะเวลา   t
จะได้ว่า     

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของความเร็ว  จาก     ถึง    มีค่าเท่ากับ   

ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุ  จาก ถึง 
หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของความเร็ว   จาก   ถึง  

ความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในขณะเวลา  t ถ้าให้      a(t)    แทนความเร่งของวัตถุในขณะเวลา   t    แล้ว    

อัตราเร่งของวัตถุ  ในขณะเวลา  t  
 หมายถึง  ค่าสัมบูรณ์ของความเร่งของวัตถุในขณะเวลา  t  
         ถ้าให้    a(t)    แทนความเร่งของวัตถุในขณะเวลา   t    แล้ว
 อัตราเร่งของวัตถุในขณะเวลา  t         

ข้อสังเกต
 
 1. ความเร็วเฉลี่ย  ความเร็ว   ความเร่งเฉลี่ย  และความเร่ง  ล้วนเป็นปริมาณเวกเตอร์   
      คือเป็นขนาดที่มีทิศทางเข้ามาเกี่ยวข้องซึ่งแสดงด้วยเครื่องหมาย
 2.  อัตราเฉลี่ย   อัตราเร็ว   อัตราเร่งเฉลี่ย   และอัตราเร่ง    เป็นปริมาณสเกลาร์

 

ความสัมพันธ์ระหว่างสมการการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่ง                                     

สมการเคลื่อนที่      S  =  f(t)
อนุพันธaniyellow07_next.gifความเร็วaniyellow07_next.gifอนุพันธaniyellow07_next.gifความเร่ง                                                    

   สรุปได้ดังนี้    กำหนดให้   

 S(t)   แทนระยะทางของวัตถุในขณะเวลา  t
 v(t)    แทนความเร็วของวัตถุในขณะเวลา  t

 a(t)    แทนความเร่งของวัตถุในขณะเวลา  t

(1) ถ้า v(t) >0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้ S มีค่าเพิ่มขึ้น (S เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่ t)
(2) ถ้า v(t) <0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้ S มีค่าลดลง (S เป็นฟังก์ชันลดที่ t)
(3) ถ้า a(t) >0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้ v มีค่าเพิ่มขึ้น (v เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่ t)
(4) ถ้า a(t) <0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้ v มีค่าลดลง (vเป็นฟังก์ชันลดที่ t)
 เครื่องหมายของ v(t)  และa(t)
           จะแสดงให้เห็นว่า   วัตถุเคลื่อนที่โดยทำให้อัตราเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้

โดยมีหลักเกณฑ์  ดังนี้
  ถ้า    v(t)  และ a(t)   มีเครื่องหมายเหมือนกันแล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้อัตราเร็วเพิ่มขึ้น

  ถ้า    v(t)  และ a(t)   มีเครื่องหมายต่างกันแล้ว  วัตถุจะเคลื่อนที่โดยทำให้อัตราเร็วลดลง